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The original blog article is "Confidence interval of R-square", but, which one?

Its R codes require package MBESS to calculate the confidence interval of $\rho^2$ for multiple regression, but visitors can't install packages on Rweb. The function source(...) of package base is the substitution. A source code file MBESS.ciR2.R including relevant functions in pacakge MBESS is uploaded online.

R2<-.68;    ###### Observed R-square            ######
N <- 150;   ###### Sample size                  ######
p <- 1;     ## Number of IV(s) other than intercept ##
conf.level=.95; ##  Confidence level            ######
## Only when p=1 , CI of R^2 can be calculated. ######
######################################################
##Input R-squared, Sample Size, number of IV(s),   ###
## and  confidence level                           ###
######################################################
## Usually you need not change the following codes ###
######################################################
## Output CIs of \eta^2, \rho^2, vs. R^2           ###
######################################################
##
source("http://ihome.cuhk.edu.hk/~s043115/data/MBESS.ciR2.R");
## substitute "require(MBESS)";
##
###############################
ci.eta2<-c((ci<-ci.R2(conf.level=conf.level,
R2=R2, N=N, p=p,
Random.Predictors=FALSE))$Lower.Conf.Limit.R2
,ci$Upper.Conf.Limit.R2);
ci.rho2<-c((ci<- ci.R2(conf.level=conf.level,
R2=R2, N=N, p=p,
Random.Predictors=TRUE))$Lower.Conf.Limit.R2
,ci$Upper.Conf.Limit.R2);
ci.R2 <- c((
max(0,
tanh(
atanh(sqrt(R2)) -
sqrt(2/(N-3))*qnorm(0.5+conf.level/2)
)
)
)^2 ,(
tanh(
atanh(sqrt(R2)) +
sqrt(2/(N-3))*qnorm(0.5+conf.level/2)
)
)^2);
(ci.R2);
if(p>1) ci.R2[] <- NA;
ci3<-data.frame(c(ci.eta2,ci.rho2,ci.R2)
,rep(c(' eta2',' rho2','Replicated R2'),each=2)
,c(rep(c('Lower','Upper'),3)));
names(ci3)<-c('CI','Type','Direction');
cat('<','h2><','font color=blue>',sep='');
tapply(ci3$CI,list(ci3$Type,ci3$Direction),mean);
cat('<','/font><','/h2>',sep='');
##to plot CI bars with boxplot
## let Q1,Q2,Q3 = R2 and Q0,Q4 as CI bounds
ci3.R2<-ci3;ci3.R2$CI[]<-R2;
plot(CI~Type,range=0,
data=rbind(ci3,ci3.R2,ci3.R2),xlab='',
ylab=paste(conf.level,'CI'),
main=paste('R2=',round(R2,4),', N=',N,'\n',p,' predictor(s) other than intercept'),
xlim=c(0,4),ylim=c(0,1));
abline(h=R2);

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心理统计中，独立同方差两组等样本量正态分布的t检验实验设计许多时候不关心两组之间绝对的差值，只关心用共同的组内标准差标准化之后的差值。因为许多心理量表的得分在标准化之前意义并不明确，不比物理中的研究量有可公度的大小尺度。 $\frac{\mu_2-\mu_1}{\sigma}$ 成为心理统计研究者典型的关注值，学名Cohen's $\tilde{d}$ ，是标准化的Effect Size，其点估计为 $d=\frac{M_2-M_1}{SD_{within}}$ 。M、SD是心理统计中样本均值与样本标准差的缩写。

实际的研究问题里，虚无假设 $H_0$ 的 $\tilde{d}$ 许多时候不应当取为零，应当取为应用上无意义的小效应与应用上有意义的大效应之间的阈值。研究者通常通过预研究和理论研究、经验判断，对 $\tilde{d}$ 的真实值下界有一个“主观的”而确信的判断值。这个判断可能受过去的客观数据与统计研究影响，但绝不会用到当前正式验证研究的任何数据信息。研究者用这些数值可以在实验抽样之前计算出样本量与Power(正式验证研究得到显著结果的概率)的函数。研究者通常依赖这个函数决定样本量大小，直接影响研究经费的预算。

数学原理是， $d\times\sqrt{n/2}$ 满足 $df=2n-2$ 、非中心参数 $ncp=\tilde{d}\times\sqrt{n/2}$ 的t分布。在已知只可能有正效应的场合，应该做单尾检验。值得一提的是，假如检验得到显著的结果，并不足以支持研究者先前判断的Effect Size值为正确，只能支持Effect Size值大于所设定的应用意义临界值。

这个帖子将给出组内样本量n与Power的函数关系图、及给定的n所对应的Power精确数值。

alpha= .05; ##设定的一类错误率; d.null = .01; ##d的总体值大于这个值才有应用意义; ##虚无假设就是“即使有效应也无应用意义”; d.drudge= .72; ##研究者在未接触正式研究数据之前 ##对d总体值下界的断定; n = 20; ##研究者想知道这个样本下的Power精确值; ## ## ######以上数值适合任何用户设定与更改####; ## ## ## #####以下代码只适于有经验的用户改进#####; n.c= max(2,round(n/2)):max(100,n*2); t.critical = qt(1-alpha,df=n.c*2-2, ncp=sqrt(n.c/2)*d.null); power.c = 1-pt(t.critical,df=n.c*2-2, ncp=sqrt(n.c/2)*d.drudge); power = power.c[abs(n.c - n)<.01]; ## ## ## ######以下为输出、作图部分###########； ## ## plot(n.c,power.c,col='grey',type='o',ylim=c(0,1), xlab='sample size within each group',ylab='Power'); points(n,power.c[abs(n.c-n)<.01],col='red'); paste('<','HR/><','H1 >', 'H0:Effect Size <= ',d.null,'<', 'BR/>Assumed Effect Size=', d.drudge,'<','BR/>alpha=', alpha,'<','BR/> n=',n, ', <','font color=red>Power=',round(power,5), '</font><','/H1>',sep='');

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独立两组等样本t检验，已知Effect Size，求样本量与Power关系

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